Gradiente y derivada direccional

Qué aprenderás

• El gradiente reúne las derivadas parciales en un vector
• Aplicar la regla del tema con pasos justificados y comprobar el resultado.
• Resolver y aprobar la hoja de ejercicios antes de continuar.

Conceptos del tema

El gradiente reúne las derivadas parciales en un vector.

Su producto escalar con un vector unitario proporciona la derivada en esa dirección.

En un punto con gradiente no nulo, el gradiente señala el máximo crecimiento local.

Cómo interpretar este tema

Una expresión matemática representa una relación, no solo una cadena de operaciones. Identifica qué cantidades conoces, qué variable buscas y qué restricciones tienen sus valores. Si aparece una división, comprueba que su denominador no sea cero.

Antes de sustituir números, escribe la regla completa y conserva los paréntesis. Justifica cada transformación: una igualdad debe seguir siendo cierta en ambos miembros. Al terminar, comprueba el resultado sustituyéndolo en la relación inicial o contrastándolo con un caso sencillo.

Detalles para comprender la regla

Normalizar separa el cambio por unidad de distancia del tamaño elegido para el vector.

La desigualdad de Cauchy-Schwarz muestra que el producto con un unitario es máximo en su dirección.

Ejemplo resuelto

Para f = x² + y² en (1,2), calcula el gradiente.

1. La parcial respecto de x es 2x.
2. La parcial respecto de y es 2y.
3. Sustituye: el gradiente es (2,4).

Cómo practicar

1. Identifica los datos, la incógnita y las restricciones del problema.
2. Escribe la definición o regla correspondiente antes de calcular.
3. Desarrolla las operaciones en líneas separadas, conservando signos y paréntesis.
4. Comprueba que el resultado tiene sentido y explica por qué.

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Recursos para profundizar

• Programas universitarios de Matemáticas · MIT OCW ↗

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