Extremos y restricciones

Qué aprenderás

• Los puntos críticos interiores de una función diferenciable satisfacen gradiente cero
• Aplicar la regla del tema con pasos justificados y comprobar el resultado.
• Resolver y aprobar la hoja de ejercicios antes de continuar.

Conceptos del tema

Los puntos críticos interiores de una función diferenciable satisfacen gradiente cero.

La matriz hessiana ayuda a clasificarlos, pero puede dar un resultado inconcluyente.

Con restricciones regulares, los multiplicadores de Lagrange relacionan los gradientes de la función y de la restricción.

Cómo interpretar este tema

Una expresión matemática representa una relación, no solo una cadena de operaciones. Identifica qué cantidades conoces, qué variable buscas y qué restricciones tienen sus valores. Si aparece una división, comprueba que su denominador no sea cero.

Antes de sustituir números, escribe la regla completa y conserva los paréntesis. Justifica cada transformación: una igualdad debe seguir siendo cierta en ambos miembros. Al terminar, comprueba el resultado sustituyéndolo en la relación inicial o contrastándolo con un caso sencillo.

Detalles para comprender la regla

Puede ser máximo, mínimo o punto de silla; falta estudiar su entorno.

Las ecuaciones combinan gradientes y las propias restricciones.

Ejemplo resuelto

Minimiza x² + y² sujeto a x + y = 2.

1. En la solución, 2x y 2y coinciden con el multiplicador.
2. Por tanto x = y; la restricción da x = y = 1.
3. El mínimo es 2; sobre la recta, alejarse de (1,1) aumenta la suma.

Cómo practicar

1. Identifica los datos, la incógnita y las restricciones del problema.
2. Escribe la definición o regla correspondiente antes de calcular.
3. Desarrolla las operaciones en líneas separadas, conservando signos y paréntesis.
4. Comprueba que el resultado tiene sentido y explica por qué.

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Recursos para profundizar

• Programas universitarios de Matemáticas · MIT OCW ↗

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