Integrales dobles y regiones

Qué aprenderás

• Una integral doble acumula una densidad sobre una región plana
• Aplicar la regla del tema con pasos justificados y comprobar el resultado.
• Resolver y aprobar la hoja de ejercicios antes de continuar.

Conceptos del tema

Una integral doble acumula una densidad sobre una región plana.

Con densidad uno calcula área.

Los límites describen la región y pueden depender de otra variable.

Al cambiar a coordenadas polares hay que incluir el factor jacobiano r.

Cómo interpretar este tema

Una expresión matemática representa una relación, no solo una cadena de operaciones. Identifica qué cantidades conoces, qué variable buscas y qué restricciones tienen sus valores. Si aparece una división, comprueba que su denominador no sea cero.

Antes de sustituir números, escribe la regla completa y conserva los paréntesis. Justifica cada transformación: una igualdad debe seguir siendo cierta en ambos miembros. Al terminar, comprueba el resultado sustituyéndolo en la relación inicial o contrastándolo con un caso sencillo.

Detalles para comprender la regla

La integral de una constante es esa constante multiplicada por el área.

El jacobiano del cambio x = r cos θ, y = r sen θ es r.

Cada elemento de área aporta su propio tamaño y la integral los acumula.

Ejemplo resuelto

Integra la densidad constante 3 en un rectángulo de lados 2 y 4.

1. El área es 2 × 4 = 8.
2. La densidad es constante y sale de la integral.
3. El total es 3 × 8 = 24.

Cómo practicar

1. Identifica los datos, la incógnita y las restricciones del problema.
2. Escribe la definición o regla correspondiente antes de calcular.
3. Desarrolla las operaciones en líneas separadas, conservando signos y paréntesis.
4. Comprueba que el resultado tiene sentido y explica por qué.

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Recursos para profundizar

• Programas universitarios de Matemáticas · MIT OCW ↗

  Programa y materiales abiertos de referencia. Los contenidos y ejercicios de Aprende son propios.