Ecuaciones lineales de primer orden

Qué aprenderás

• En y′ + p(x)y = q(x), un factor integrante transforma el miembro izquierdo en la derivada de un producto
• Aplicar la regla del tema con pasos justificados y comprobar el resultado.
• Resolver y aprobar la hoja de ejercicios antes de continuar.

Conceptos del tema

En y′ + p(x)y = q(x), un factor integrante transforma el miembro izquierdo en la derivada de un producto.

Ese factor es exp(∫p(x)dx).

Integra el producto y aplica la condición inicial al final.

Cómo interpretar este tema

Una expresión matemática representa una relación, no solo una cadena de operaciones. Identifica qué cantidades conoces, qué variable buscas y qué restricciones tienen sus valores. Si aparece una división, comprueba que su denominador no sea cero.

Antes de sustituir números, escribe la regla completa y conserva los paréntesis. Justifica cada transformación: una igualdad debe seguir siendo cierta en ambos miembros. Al terminar, comprueba el resultado sustituyéndolo en la relación inicial o contrastándolo con un caso sencillo.

Detalles para comprender la regla

La regla del producto convierte la ecuación en una forma directamente integrable.

Ejemplo resuelto

Resuelve con y(0) = 5.

1. El factor integrante es e^x.
2. La derivada de e^x y vale cero.
3. Por tanto y = 5 e^(−x).

Cómo practicar

1. Identifica los datos, la incógnita y las restricciones del problema.
2. Escribe la definición o regla correspondiente antes de calcular.
3. Desarrolla las operaciones en líneas separadas, conservando signos y paréntesis.
4. Comprueba que el resultado tiene sentido y explica por qué.

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Recursos para profundizar

• Programas universitarios de Matemáticas · MIT OCW ↗

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