Cambio de variable

Qué aprenderás

• Una sustitución reconoce una función interior y su derivada dentro de la integral
• Aplicar la regla del tema con pasos justificados y comprobar el resultado.
• Resolver y aprobar la hoja de ejercicios antes de continuar.

Conceptos del tema

Una sustitución reconoce una función interior y su derivada dentro de la integral.

Cambia tanto la expresión como el diferencial.

Si es indefinida, vuelve al final a la variable original.

Cómo interpretar este tema

Una expresión matemática representa una relación, no solo una cadena de operaciones. Identifica qué cantidades conoces, qué variable buscas y qué restricciones tienen sus valores. Si aparece una división, comprueba que su denominador no sea cero.

Antes de sustituir números, escribe la regla completa y conserva los paréntesis. Justifica cada transformación: una igualdad debe seguir siendo cierta en ambos miembros. Al terminar, comprueba el resultado sustituyéndolo en la relación inicial o contrastándolo con un caso sencillo.

Detalles para comprender la regla

Los extremos son entradas de la variable de integración: sustituye cada extremo en u = g(x).

Ejemplo resuelto

Calcula ∫2x(x² + 1)³ dx.

1. Toma u = x² + 1; entonces du = 2x dx.
2. Integra ∫u³ du = $\frac{u^{4}}{4}$ + C.
3. Vuelve a x: $\frac{(x^{2} + 1)^{4}}{4}$ + C.

Cómo practicar

1. Identifica los datos, la incógnita y las restricciones del problema.
2. Escribe la definición o regla correspondiente antes de calcular.
3. Desarrolla las operaciones en líneas separadas, conservando signos y paréntesis.
4. Comprueba que el resultado tiene sentido y explica por qué.

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Recursos para profundizar

• Cálculo · OpenStax ↗

  Material de referencia para profundizar. La teoría necesaria para esta hoja está en esta página.

• Laboratorio de Matemáticas ↗

  Representa funciones, fracciones, figuras y vectores.