Lógica y demostraciones
Una implicación afirma que si se cumple una hipótesis, se cumple una conclusión.
Qué aprenderás
- Una implicación afirma que si se cumple una hipótesis, se cumple una conclusión
- Aplicar la regla del tema con pasos justificados y comprobar el resultado.
- Resolver y aprobar la hoja de ejercicios antes de continuar.
Conceptos del tema
Una implicación afirma que si se cumple una hipótesis, se cumple una conclusión.
Su recíproca puede ser falsa; la contraposición es equivalente.
Para demostrar una afirmación universal no basta un ejemplo: puede utilizarse deducción, contradicción o inducción.
Un contraejemplo sí refuta una afirmación universal.
Cómo interpretar este tema
Una expresión matemática representa una relación, no solo una cadena de operaciones. Identifica qué cantidades conoces, qué variable buscas y qué restricciones tienen sus valores. Si aparece una división, comprueba que su denominador no sea cero.
Antes de sustituir números, escribe la regla completa y conserva los paréntesis. Justifica cada transformación: una igualdad debe seguir siendo cierta en ambos miembros. Al terminar, comprueba el resultado sustituyéndolo en la relación inicial o contrastándolo con un caso sencillo.
Detalles para comprender la regla
Un solo caso que no satisface la conclusión basta para refutar una afirmación universal.
La implicación y su contraposición tienen los mismos valores de verdad.
El caso base inicia la cadena y el paso inductivo demuestra que cada caso válido implica el siguiente.
Ejemplo resuelto
Demuestra que si un entero es múltiplo de 4, es par.
- Escribe n = 4k para un entero k.
- Reagrupa n = 2(2k).
- Como 2k es entero, n es par. La recíproca falla con n = 2.
Cómo practicar
- Identifica los datos, la incógnita y las restricciones del problema.
- Escribe la definición o regla correspondiente antes de calcular.
- Desarrolla las operaciones en líneas separadas, conservando signos y paréntesis.
- Comprueba que el resultado tiene sentido y explica por qué.
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