Bases, rango y sistemas

Qué aprenderás

• Una base es un conjunto de vectores independientes que genera todo el espacio
• Aplicar la regla del tema con pasos justificados y comprobar el resultado.
• Resolver y aprobar la hoja de ejercicios antes de continuar.

Conceptos del tema

Una base es un conjunto de vectores independientes que genera todo el espacio.

El rango cuenta los pivotes de una matriz y la dimensión de su imagen.

En una matriz con n columnas, rango más nulidad vale n.

La eliminación de Gauss permite localizar variables libres y decidir compatibilidad.

Cómo interpretar este tema

Una expresión matemática representa una relación, no solo una cadena de operaciones. Identifica qué cantidades conoces, qué variable buscas y qué restricciones tienen sus valores. Si aparece una división, comprueba que su denominador no sea cero.

Antes de sustituir números, escribe la regla completa y conserva los paréntesis. Justifica cada transformación: una igualdad debe seguir siendo cierta en ambos miembros. Al terminar, comprueba el resultado sustituyéndolo en la relación inicial o contrastándolo con un caso sencillo.

Detalles para comprender la regla

Independencia y generación son las dos condiciones necesarias; la ortogonalidad es opcional.

Ejemplo resuelto

Una matriz de cuatro columnas tiene rango 3.

1. Hay tres columnas pivote.
2. Una variable es libre en el sistema homogéneo.
3. La nulidad es 4 − 3 = 1.

Cómo practicar

1. Identifica los datos, la incógnita y las restricciones del problema.
2. Escribe la definición o regla correspondiente antes de calcular.
3. Desarrolla las operaciones en líneas separadas, conservando signos y paréntesis.
4. Comprueba que el resultado tiene sentido y explica por qué.

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Recursos para profundizar

• Programas universitarios de Matemáticas · MIT OCW ↗

  Programa y materiales abiertos de referencia. Los contenidos y ejercicios de Aprende son propios.