Máximos y mínimos
Los puntos interiores con derivada cero son candidatos a extremos, pero hay que comprobarlos.
Qué aprenderás
- Los puntos interiores con derivada cero son candidatos a extremos, pero hay que comprobarlos
- Aplicar la regla del tema con pasos justificados y comprobar el resultado.
- Resolver y aprobar la hoja de ejercicios antes de continuar.
Conceptos del tema
Los puntos interiores con derivada cero son candidatos a extremos, pero hay que comprobarlos.
En un intervalo cerrado también se evalúan los extremos del intervalo.
El signo de la segunda derivada puede clasificar un punto crítico.
Cómo interpretar este tema
Una expresión matemática representa una relación, no solo una cadena de operaciones. Identifica qué cantidades conoces, qué variable buscas y qué restricciones tienen sus valores. Si aparece una división, comprueba que su denominador no sea cero.
Antes de sustituir números, escribe la regla completa y conserva los paréntesis. Justifica cada transformación: una igualdad debe seguir siendo cierta en ambos miembros. Al terminar, comprueba el resultado sustituyéndolo en la relación inicial o contrastándolo con un caso sencillo.
Detalles para comprender la regla
La segunda derivada negativa indica concavidad hacia abajo cerca del punto crítico.
Un extremo absoluto puede encontrarse en la frontera del intervalo aunque la derivada allí no sea cero.
Ejemplo resuelto
Minimiza f(x) = x² − 4x + 7 en los reales.
- Deriva: f′(x) = 2x − 4.
- Iguala a cero: x = 2. Como f″ = 2 > 0, es mínimo.
- Evalúa: f(2) = 4 − 8 + 7 = 3.
Cómo practicar
- Identifica los datos, la incógnita y las restricciones del problema.
- Escribe la definición o regla correspondiente antes de calcular.
- Desarrolla las operaciones en líneas separadas, conservando signos y paréntesis.
- Comprueba que el resultado tiene sentido y explica por qué.
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